内積 : 数学

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内積の覚書

• 始点をO,終点がAのベクトルをOA(太字大文字)で表す(通常のOAは直線を表す)。
• ベクトルOAの終点Aの座標を(a₁, a₂)するとOAは座標(a₁, a₂)と同一視できる。a=(a₁, a₂)
• ベクトルaの大きさ/長さ/ノルムを|a|と表す。
• |a| = 1となるベクトルを単位ベクトルと呼ぶ。
• ベクトルa,bの内積をa·bと表す。
• 垂直なベクトルa,bをa⊥bと表す。
• BからOAにおろした垂線をBHとするとOHはbのa上への正射影ベクトル。

内積の演算規則
(1) a·(b+c) = a·b + a·c
(2) 実数s,t, ベクトルa,b	sa·tb = st(a·b)

ベクトルa,bの内積 : |a||b|cosθ

a·BH=0
a·BH=0 ⇔ a·HB=0
HB = OB - OH = b - OH

内積の演算規則(1)より
a · (b - OH) = a·b-a·OH  = 0

a·b = a·OH

eをa方向の単位ベクトル(|e|=1)。θをベクトル間の角度とする。
a = |a|e
OH = |b|cosθe

内積の演算規則(2),|e|=1
a·b = a·OH = (|a|e)·(|b|cosθe) = |a||b|cosθ(e·e) = |a||b|cosθ|e|2 = |a||b|cosθ

上記より
cosθ = a·b / |a||b|