直線の媒介変数表示,内分点,外分点

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直線の媒介変数表示の覚書です。

直線(1次元)

実数a,b(a<b)に対して、実数直線上の任意の点は媒介変数(実数)tを用いて下記のように表すことができる。

x = a + t(b-a)	tは実数(媒介変数)

上記は変形すると

x = (1-t)a + tb	tは実数(媒介変数)

内分点・外分点

上記の式で媒介変数tが
0 ≤ t ≥ 1 ⇒ 内分点。
t ≤ 0, t ≥ 1 ⇒ 外分点。
媒介変数tを変化させることにa,bを通るすべての点を表すことができる。

平面(2次元)

平面の2点(a1 ,a2),(b1, b2)を通る直線の内分点(x, y)を求める。

x= (1-t)a1+tb1
y= (1-t)a2+tb2

直線の方程式

平面上の2点(a1,a2),(b1,b2)を通る直線上の点を求める方程式。

x = (1-t)a1+tb1 = a1+(b1-a1)t	--(1)
y = (1-t)a2+tb2 = a2+(b2-a2)t	--(2)

(1)をtについて解き、(2)へ代入する。

t = (x-a1)/(b1-a1)
y = a2+(b2-a2){(x-a1)/(b1-a1)}
y-a2 = {(b2-a2)/(b1-a1)}(x-a1)	---(3)

(3)で傾き(b2-a2)/(b1-a1)をmおく

y-a2 = m(x-a1) -- (4)

(4)を変形して

y = mx-ma1+a2 --(5)

-ma1+a2をkとおくと

y = mx + k

※kはy切片になる

平行, 垂直

m, nの傾きを持つ2直線を考える。

2直線が平行 ⇔ m = n

2直線が垂直 ⇔ mn = -1 ⇒ n = -1/m