数列, 級数 : 数学

数列, 級数に関する覚書です。

数列

自然数(正の整数1,2,3,・・・)全体から実数全体への写像。自然数として0を含める場合もある。

(an)n∈N		Nは自然数全体の集合
例) an=1/n

等差数列

初項a、等差dの等差数列の一般項

an = a + (n-1)d			※定義域(自然数全体)に0を含めない
an = a0 + nd		※定義域(自然数全体)に0を含める

等比数列

初項a,等比rの等比数列の一般項を次のようになる。

1	2	3	…	n
a	ar	ar2	…	arn-1

0	1	2	3	…	n
a	ar	ar2	ar3	…	arn

a_n = ar^n-1 ※定義域(自然数全体)に0を含めない a_n = arⁿ ※定義域(自然数全体)に0を含める

漸化式

漸化式とは数列を隣り合う項で表したもの。

等差数列を漸化式

an+1 = an + d

ActionScriptのonEnterFrameを用いた等速運動の距離(変位)や等加速度運動の速度は等差数列の漸化式として表すことができる。
» onEnterFrameを使った等(加)速度運動 : Actionscript

等比数列を漸化式

ａn+1＝ａn×ｒ

数列の部分和

数列a_nの初めのn項の和を数列の第n部分和という。

S(n) = a1 + a2 + ・・・ + an

等差数列の部分和

初項a、等差dの等差数列a_nの第n部分和^[1]。

Sn = n{2a+(n-1)d}/2

等比数列の部分和

S(n) = a0(1-rn)/(1-r)		※定義域に0を含めない
S(n) = a0(1-rn+1)/(1-r)		※定義域に0を含める

定義域に0を含めない場合の等比数列のｎ項の和の証明。

S(n) = a(1 - rn) / (1 - r)

□証明
  S(n) =  a + ar + ar2 + ... + ar(n-1)
- rS(n) =     ar + ar2 + ... + ar(n-1) + arn
-----------------------------------------------------------
S(n)(1 - r) = a - arn
S(n) = a(1 - rn) / (1 - r)

級数

数列(a_n)_n∈Nの各項の和(a₁+a₂+・・・)を級数(もしくは無限級数)という。

» 関数の冪級数展開 : 数学

1. 自然数列の証明。
1, 2, 3, …, n

□自然数列のn項の和
初項 1,等差 1の等差数列
1, 2, 3, ..., n

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n-1 + n = [n(n+1)]/2
S(n-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n-1   = [n(n-1)]/2

□証明
前提1: (k＋１)2 －k2 <=> 2k＋１
前提2: a = b, c = d => a + c = b + d

●左辺
( k + 1 )2 － k2のkを1,2,3とし足す。

k = 1:    ( 1 + 1 )2 - 12 => 4' - 1
k = 2:  +( 2 + 1 )2 - 22 => 9'' - 4'
k = 3:  +( 3 + 1 )2 - 32 => 16 - 9''

''の対と'の対は互いに消えるので左辺は16 - 1となる。kをnまで足すと( n + 1 )2 -1となる。

●右辺
2ｋ+ 1のkを1,2,3とし足す。

k = 1:     2×1 + 1
k = 2:  + 2×2 + 1
k = 3:  + 2×3 + 1
--------------------------------
              2( 1 + 2 + 3 ) + 3

kをnまで足すと次のようになる。
2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) + n

( k + 1 )2 - k2 = 2k + 1より
( n + 1 )2 - 1 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) + n

S = 1 + 2 + 3 + ... + nとする。

( n + 1 )2 - 1 = 2S + n
n2 + 2n + 1 - 1 - n = 2S
2S = n2 + n
S = [n(n+1)]/2