円 : 数学

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円に関する覚書です。

円の方程式

原点を中心とする半径rの円の方程式。

x2 + y2 = r2	---(1)	{(x,y) | (x,y) ∈ x2 + y2 = r2}

中心(x₀,y₀)の場合の円の方程式。

(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2		{(x,y) | (x,y) ∈ (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2}

円の方程式はピタゴラスの定理から求めることができる。

円を表す陰関数

(1)式を円の陰関数表示とも呼ぶ。
円の方程式/陰関数から2つの陽関数が得られる。

円を表す陽関数

x2 + y2 = r2
y = +√(r2 -x2)
= -√(r2 -x2)

円を表すよう関数は変数xに対してyが2つ定まるため、関数_※として扱うことができない。
そこで媒介変数(弧度)を利用することにより、媒介変数に対してx, yをそれぞれ一意に求める方法が使われる。

※関数をxに対して、yが一つ定まる関係とする。

媒介変数表示/パラメトリック表示

原点を中心とする半径(r)の円を考える。rを定数とすると、変数θ(弧度)対して、円の方程式を満たすx,yをそれぞれ下記の関数から求めることができる。

x = r·cosθ
y = r·sinθ

»三角比/三角関数
»極座標表示

円の接線

中心(0, 0), 半径rの円周上の点(a, b)の接線の方程式

円の方程式   : x2 + y2 = r2
接線の方程式 : ax + by = r2

※関係ない覚書
グラフの交点は連立方程式の解。