ベクトル : 数学

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ベクトルついての覚書。

ベクトルとは

ベクトルは大きさと方向を持つ矢印。pが始点、qを終点とするベクトルをと書く。ベクトルは位置情報を持たないため、を平行移動したは同じベクトル。

ベクトルと座標

2次元座標の点(a₁, a₂)は、始点が(0,0)、終点を(a₁, a₂)とするベクトルと考えることができる。すべてのベクトルの始点を(0,0)に移動すれば、2次ベクトル空間は2次元座標を使って表すことができる。
2次元座標の点(a₁, a₂)をベクトルと考える場合、a1, a2をそれぞれx成分、y成分と呼ぶ。以下、ベクトルは英小文字の太字で表す = a = (a₁, a₂)。

ベクトルの大きさ(絶対値)

ベクトルa=(a₁,a₂)の大きさ(長さ,絶対値,ノルム)を|a|と表す。
|a| = √(a₁²+a₂²);

※2次元ベクトルの大きさはピタゴラスの定理から求めることができる。

ピタゴラスの定理
斜辺が|a|である直角三角形の各辺が|a|,a₁,a₂ ⇒ |a|² = a₁² + a₂² ⇒ |a| = √(a₁²+a₂²);

ベクトルの分解

ベクトルは大きさと方向を持つ。ベクトルaは大きさ|a|と方向θで表すことができる。このベクトルのx成分、y成分を求める。
x成分 : a₁ = |a|cosθ
y成分 : a₂ = |a|sinθ

また2次元空間の2点a, bの距離をノルムで表すことができる。
|a–b| = √((a₁-b₁)² + (a₂-b₂)²);

2次元ベクトル空間

和とスカラー倍が定義された空間。

ベクトルの足し算

a=(a1,a2), b=(b1,b2) ⇒ a+b=(a1+b1,a2+b2)

スカラー倍

a=(a₁,a₂), kは実数
ka = (ka₁, ,ka₂)

内積

ベクトルa,bの内積をa · bと表す。内積は数値(スカラー)。
a · b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

内積の定義よりa,bの間の余弦をcosθとすると
cosθ = a · b / |a||b| = (a₁b₁ + a₂b₂) / |a||b|
※|a|,|b|はベクトルの大きさ。θはベクトル間の角度。
※cos90,cos-90は0なので、2ベクトルが直交しているときの内積は0。

直行ベクトル
内積が0のベクトルを直行ベクトルと呼ぶ。直行ベクトルはベクトル間の角度が90度。
直行ベクトルの例
a=(1,0),b=(0,1)
a=(1,1),b=(-1,1)

外積

ベクトルの外積(a×b)は下記の式で求めることができる。
a × b = |a||b|sinθ

※a,bの外積の大きさは2ベクトルが作る平行四辺形の面積。
※sinは180,-180のとき0なので平行なベクトルa, bの外積は0

一次独立

2次元の一次独立を考える。
次の性質を満たすベクトルe=(e₁,e₂),e’=(e’₁,e’₂)は2次元の一次独立なベクトル。
1) 2次元の任意のベクトルを下記の式で表すことができる
v = se + te’ —(1) ※s,tは実数
2) その表し方が一意

※一次独立なベクトルの組みは基底となる。
※(1)の式を線形結合と呼ぶ。

一次独立な例
e=(1,0),e’=(0,1)
e=(1,2),e’=(3,4)