三角比・三角関数のメモ。
直角三角形の角度(Θ)に応じた2辺の比を三角比という。角度は度数で表す場合と弧度(ラジアン)で表す場合がある。
本記事では度数Θを弧度をθで表す。
sinΘ = y/r 正弦 cosΘ = x/r 余弦 tanΘ = y/x 正接
sinΘ,cosΘ,tanΘは三角比という言葉のとおり直角三角形の辺の比を表す。
直角三角形の辺の比である三角比は、斜辺rの長さによって値が変わらず角度Θに応じて一意に決まる。
ある角度Θの直角三角形は、他の斜辺の長さが異なる全ての角度のΘ直角三角形と相似である。
相似な三角形の三角比は等しい。よって角度Θの三角比は斜辺の長さに関わらず一意に決まる。
sinΘ = y; cosΘ = x tanΘ = y/x = sinΘ/cosΘ
斜辺1の三角比の余弦・正弦の値の組(x,y)は半径1(単位円)の円周上の点に対応する。
角度を表す方法は度数法と弧度法が有名である。
弧度法は、角度を半径1の円弧の長さで表す。
弧度の単位はradである。
円周 : 2πr(rは半径) 単位円(r = 1) ⇒ 2πr = 2π 角度 ⇔ 弧度 ·360度 = 2π ⇒ 360度/360 = 2π/360 ⇒ 1度 = π/180 1度を弧度で表すとπ/180(約0.017) ·360度 = 2π ⇒ 360度/2π = 1 ⇒ 180度/π = 1 1radを度数で表すと約57度
半径1(単位円)の円弧(弧度)と三角比の関数を三角関数と呼ぶ。
x = cos(θ); y = sin(θ);
訂正 2009.01.25 上図 3π/2~2π
cosθ”’ = x/r = -cosθ ×
cosθ”’ = x/r = cosθ ○
sin' = cos cos' = -sin
cosx =1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ・・・ sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ・・・
三角関数の逆関数を下記のように表す。
y = sinx ⇔ x = sin-1y (逆正弦関数) ※-π/2 ≤ sin-1y ≤ π/2 y = cosx ⇔ x = cos-1y (逆余弦関数) ※0 ≤ cos-1y ≤π y = tanx ⇔ x = tan-1y (逆正接関数) ※-π/2 ≤ tan-1y ≤ π/2
※三角関数は周期関数のため、逆関数は多価関数となる。よって一般に値域を上記のように制限する。
半径rの円周上の点は角度θ(弧度)を用いて次のように表すことができる。
x = rcosθ y = rsinθ
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