媒介変数 : 数学


XY平面の曲線が、ある変数tによりx(t),y(t)と表されるとする。この変数tを媒介変数とよぶ。

2次曲線の場合

y = x2

媒介変数tを使って表す。

x = x(t) = t
y = y(t) = t2

の方程式

 
円の方程式
x2 + y2 = r2
陽関数
x2 + y2 = r2
y = +√(r2 -x2)
= -√(r2 -x2)
媒介変数表示
x = x(θ) = r•cosθ
y = y(θ) = r•sinθ

円の方程式から導かれる陽関数は変数xに対してyが2つ定まる。そのため関数として扱うことはできない。
円は媒介変数θに対してx, yがそれぞれ一意に定まるの弧度を媒介変数として表すことができる。
弧度(偏角:θ)と径(r)により表された形式を極座標表示とも呼ぶ。

媒介変数表示された関数の微分

媒介変数表示された曲線のx,yにおける微分は以下のようになる。

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

(例) 中心が原点の単位円

媒介変数を弧度θとする。

x = cosθ
y = sinθ
cosθ' = -sinθ, sinθ' = conθより
dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = cosθ/-sinθ

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