積分 : 数学


積分に関する覚書です。

不定積分

f(x)を導関数として持つ関数を、f(x)の不定積分(原始関数)と呼び下記のように表す。

∫f(x)dx

関数f(x)の不定積分を求めることをf(x)を積分するという。

積分定数

F(x)をf(x)の不定積分とする(F'(x)=f(x))。任意の定数Cに対してF(x)+Cはまたf(x)の不定積分である。

F'(x) = f(x) ⇒ ∫f(x)dx = F(x) + C		Cは任意の定数

f(x)は定数Cだけ異なる不定積分を無数にもつ。

定積分

f(x)の不定積分の一つをF(x)とする。2つの実数a,b(a≤b)に対してF(b)-F(a)で定まる値はf(x)のaからbまでの定積分と呼ぶ。

定積分は積分定数Cの選び方に依存しない。通常定積分は積分定数=0を使って計算する。


(例1)
f(x) = 2xの区間[1,3]の定積分を求める。
∫fx = F(x) = x2
F(3)-F(1)=8;

(例2)
f(x) = x2を[1,3]について積分する。
∫fx = F(x) = x3/3
F(3)-F(1) = 27/3 - 1/3 = 26/3

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