積分 : 数学

投稿日 : 2008年4月27日 | 更新日 : 2008年04月27日 前のページへ戻る

積分に関する覚書です。

不定積分

f(x)を導関数として持つ関数を、f(x)の不定積分(原始関数)と呼び下記のように表す。

∫f(x)dx

関数f(x)の不定積分を求めることをf(x)を積分するという。

積分定数

F(x)をf(x)の不定積分とする(F’(x)=f(x))。任意の定数Cに対してF(x)+Cはまたf(x)の不定積分である。

F'(x) = f(x) ⇒ ∫f(x)dx = F(x) + C		Cは任意の定数

f(x)は定数Cだけ異なる不定積分を無数にもつ。

定積分

不定積分の一つをF(x)とすると、2つの実数a,b(a≤b)に対してF(b)-F(a)により定まる値をf(x)のaからbまでの定積分と呼ぶ。 定積分の値は、積分定数Cの選び方には依存しない。そのためF(x)として任意の不定積分を使うことができる。通常定積分の計算は積分定数=0を使う。 (例1) f(x) = 2xを[1,3]について積分する。 ∫fx = F(x) = x² F(3)-F(1)=8; (例2) f(x) = x²を[1,3]について積分する。 ∫fx = F(x) = x³/3 F(3)-F(1) = 27/3 – 1/3 = 26/3

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